Za hranicemi logiky a nečekaných absurdit: Toto jsou nejšílenější paradoxy

„Vím jednu věc,“ řekl Sokrates. „Že nevím nic.“ Je to zásadní poznatek jednoho ze zakladatelů západní filozofie: Měl bys zpochybňovat všechno, co si myslíš, že víš. Čím blíže se podíváte, tím více paradoxů kolem sebe začnete rozpoznávat.

Chcete-li se dostat kamkoli, musíte nejprve urazit polovinu vzdálenosti, pak polovinu zbývající vzdálenosti, polovinu zbývající vzdálenosti a tak dále až do nekonečna: Pohyb je tedy nemožný.

Dichotomický paradox je připisován starořeckému filozofovi Zenonovi a byl údajně vytvořen jako důkaz, že vesmír je jedinečný a že změna, včetně pohybu, je nemožná (jak tvrdil Zenonův učitel Parmenidés).

Lidé tento paradox už léta intuitivně odmítají. Z matematického hlediska je řešením – formalizovaným v 19. století – přijmout, že jedna polovina plus jedna čtvrtina plus jedna osmina plus jedna šestnáctina atd… dává dohromady jedna. Je to podobné, jako kdybychom řekli, že 0,999 … se rovná 1.

Toto teoretické řešení však ve skutečnosti neodpovídá na otázku, jak může objekt dosáhnout svého cíle. Řešení této otázky je složitější a stále nejasné a opírá se o teorie 20. století o tom, že hmota, čas a prostor nejsou nekonečně dělitelné.

Pohybující se objekt je v každém okamžiku nerozeznatelný od objektu, který se nepohybuje: Pohyb je tedy nemožný.

Tomu se říká paradox šípu a je to další ze Zenonových argumentů proti pohybu. Problém spočívá v tom, že v jediném časovém okamžiku uplyne nula vteřin, a tudíž se odehraje nulový pohyb. Zenon tvrdil, že kdyby se čas skládal z okamžiků, skutečnost, že v žádném konkrétním okamžiku nedochází k pohybu, by znamenala, že k pohybu nedochází.

Stejně jako dichotomický paradox i paradox šípu ve skutečnosti naznačuje moderní chápání kvantové mechaniky. Kevin Brown ve své knize Úvahy o relativitě uvádí, že v kontextu speciální teorie relativity se objekt v pohybu liší od objektu v klidu. Relativita vyžaduje, aby se objekty pohybující se různou rychlostí jevily vnějším pozorovatelům odlišně a samy měly odlišné vnímání okolního světa.

Kdybyste obnovili loď tak, že byste vyměnili každou její dřevěnou část, zůstala by stejnou lodí?

Paradox Theseovy lodi, další klasický příběh ze starověkého Řecka, se zabývá rozpory identity. Slavně ho popsal Plútarchos:

Loď, na níž se Theseus a athénští mladíci vraceli z Kréty, měla třicet vesel a Athéňané ji zachovali až do doby Démétria Faléra, neboť odstraňovali stará prkna, jak se rozpadala, a na jejich místa dávali nové a pevnější dřevo, takže se tato loď stala mezi filozofy vzorem pro logickou otázku věcí, které rostou; jedna strana tvrdila, že loď zůstává stejná, a druhá tvrdila, že stejná není.

Může všemocná bytost stvořit kámen, který je příliš těžký na to, aby ho sama zvedla?

Když už jsme u toho, jak může existovat zlo, když je Bůh všemohoucí? A jak může existovat svobodná vůle, když je Bůh vševědoucí? To je jen několik z mnoha paradoxů, které existují, když se snažíte aplikovat logiku na definice Boha.

Někteří lidé by mohli tyto paradoxy uvádět jako důvod, proč nevěřit v nejvyšší bytost, jiní by však řekli, že jsou nepodstatné nebo neplatné.

Existuje nekonečně dlouhý „roh“, který má konečný objem, ale nekonečný povrch.

Když se přesuneme k problému ze 17. století, máme tu jeden z mnoha paradoxů souvisejících s nekonečnem a geometrií.

„Gabrielův roh“ vznikne tak, že vezmeme křivku y = 1/x a otočíme ji kolem vodorovné osy. Pomocí postupů z matematiky, které umožňují vypočítat plochy a objemy takto sestrojených útvarů, je možné zjistit, že nekonečně dlouhý roh má ve skutečnosti konečný objem rovný ?, ale nekonečnou plochu.

Znamená to, že roh by mohl pojmout konečný objem barvy, ale k pokrytí celého povrchu by potřeboval nekonečné množství barvy.

Heterologické slovo je takové, které nepopisuje samo sebe. Popisuje slovo „heterologický“ samo sebe?

Zde je jeden z mnoha autoreferenčních paradoxů, které moderním matematikům a logikům nedávají spát.

Příkladem heterologického slova je „sloveso“, které není slovesem (na rozdíl od „podstatného jména“, které je samo o sobě podstatným jménem). Dalším příkladem je slovo „dlouhý“, které není dlouhým slovem (na rozdíl od slova „krátký“, které je krátkým slovem).

Je tedy „heterologický“ heterologické slovo? Kdyby to bylo slovo, které nepopisuje samo sebe, pak by popisovalo samo sebe; ale kdyby popisovalo samo sebe, pak by to nebylo slovo, které popisuje samo sebe.

To souvisí s Russellovým paradoxem, který se ptal, zda množina věcí, které neobsahují samy sebe, obsahuje samu sebe. Vytvořením takovýchto sebedestruktivních množin Bertrand Russell a další ukázali důležitost stanovení pečlivých pravidel při vytváření množin, což položilo základy matematiky 20. století.

Piloti se mohou dostat z bojové služby, pokud jsou psychicky nezpůsobilí, ale každý, kdo se snaží dostat z bojové služby, dokazuje, že je zdravý.

„Hlava 22“, satirický román Josepha Hellera z druhé světové války, pojmenoval situaci, kdy někdo potřebuje něco, co může mít pouze tehdy, když to nepotřebuje – což je jakýsi sebereferenční paradox.

Hlavní hrdina Yossarian se seznámí s paradoxem v souvislosti s hodnocením pilotů, ale nakonec vidí paradoxní (a utlačující) pravidla všude, kam se podívá.

Každé číslo je něčím zajímavé.

Vždyť 1 je první nenulové přirozené číslo, 2 je nejmenší prvočíslo, 3 je první liché prvočíslo, 4 je nejmenší složené číslo atd. A když konečně dojdete k číslu, které se zdá, že na něm není nic zajímavého, pak je toto číslo zajímavé z toho důvodu, že je prvním číslem, které není zajímavé.

Paradox zajímavého čísla se opírá o nepřesnou definici pojmu „zajímavý“, což z něj činí poněkud hloupější verzi některých jiných paradoxů, jako je heterologický paradox, které se opírají o protichůdné autoreference.

Výzkumník v oblasti kvantových počítačů Nathaniel Johnston přišel s chytrým řešením paradoxu: namísto intuitivního pojmu „zajímavý“ jako v původním paradoxu definoval zajímavé celé číslo jako číslo, které se vyskytuje někde v Online encyklopedii celých posloupností, což je soubor desítek tisíc matematických posloupností, jako jsou prvočísla, Fibonacciho čísla nebo Pythagorovy trojice.

Na základě této definice bylo od prvního příspěvku na Johnstonově blogu v červnu 2009 první nezajímavé číslo (nejmenší celé číslo, které se neobjevilo v žádné z posloupností) 11 630. Vzhledem k tomu, že do encyklopedie jsou neustále přidávány nové sekvence, z nichž některé obsahují dříve nezajímavá čísla, bylo k poslední Johnstonově aktualizaci v listopadu 2013 aktuální nejmenší nezajímavé číslo 14 228.

V baru se vždy najde alespoň jeden zákazník, pro kterého platí, že když pije on, pijí všichni.

Podmíněné výroky ve formální logice mají někdy neintuitivní interpretaci a paradox pití je toho skvělým příkladem. Na první pohled paradox naznačuje, že jedna osoba způsobuje, že zbytek baru pije.

Ve skutečnosti se tím jen říká, že by nebylo možné, aby všichni v baru pili, pokud by nepil každý zákazník. Proto je tam alespoň jeden zákazník (tj. poslední zákazník, který nepije), který by svým pitím mohl způsobit, že by v baru pili všichni.

Kuličku, kterou lze rozřezat na konečný počet částí, lze opět složit do dvou stejně velkých kuliček.

Banachův-Tarského paradox se opírá o mnoho podivných a neintuitivních vlastností nekonečných množin a geometrických rotací.

Kousky, na které se koule rozdělí, vypadají velmi podivně a paradox funguje pouze pro abstraktní, matematickou kouli. I když by bylo hezké vzít jablko, rozříznout ho a znovu složit kousky, abyste měli jablko navíc pro kamaráda, fyzické koule z hmoty nelze rozložit jako čistě matematickou kouli.

100gramová brambora obsahuje 99 % vody. Pokud se vysuší na 98 % vody, bude vážit pouze 50 gramů.

I při práci se staromódními konečnými veličinami může matematika vést k podivným výsledkům. Klíčem k bramborovému paradoxu je pozorně se podívat na matematiku, která stojí za obsahem nevody v bramborách.

Protože brambora obsahuje 99 % vody, tvoří suché složky 1 % její hmotnosti. Brambora začíná na 100 gramech, to znamená, že obsahuje 1 gram suché látky. Když vysušená brambora obsahuje 98 % vody, musí nyní tento 1 gram suchého materiálu tvořit 2 % hmotnosti brambory. Jeden gram je 2 % z 50 gramů, takže to musí být nová hmotnost brambory.

Pokud je v místnosti jen 23 lidí, je větší než rovná šance, že alespoň dva z nich mají narozeniny ve stejný den.

Další překvapivý matematický výsledek, narozeninový paradox, vychází z pečlivé analýzy příslušných pravděpodobností. Pokud jsou dva lidé společně v jedné místnosti, pak existuje šance 364/365, že nemají narozeniny ve stejný den (pokud pomineme přestupné roky a budeme předpokládat, že všechny narozeniny jsou stejně pravděpodobné), protože existuje 364 dní, které se liší od narozenin první osoby, které pak mohou být narozeninami druhé osoby.

Pokud jsou v místnosti tři lidé, pak pravděpodobnost, že všichni mají narozeniny v jiný den, je 364/365 x 363/365: Jakmile známe narozeniny prvního člověka, máme 364 možností, že druhý člověk má narozeniny v jiný den, a zbývá 363 možností, že třetí člověk má narozeniny v jiný den než ti dva.

Pokračujeme-li tímto způsobem, jakmile dosáhneme počtu 23 osob, pravděpodobnost, že všech 23 osob bude mít narozeniny v jiný den, klesne pod 50 %, a pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby budou mít narozeniny ve stejný den, je tedy více než sudá.

Přátelé většiny lidí mají více přátel než oni sami.

Zdá se to nemožné, ale je to pravda, když se zamyslíte nad matematikou. Paradox přátelství je způsoben tím, že ve většině sociálních sítí má většina lidí jen několik přátel, zatímco hrstka lidí má velké množství přátel. Tito sociální motýli v druhé skupině se neúměrně objevují jako přátelé lidí s menším počtem přátel a podle toho táhnou průměrný počet přátel přátel.

Fyzika, který pracuje na vynálezu stroje času, navštíví jeho starší verze. Starší verze mu dá plány na stroj času a mladší verze tyto plány použije k sestrojení stroje času a nakonec se vrátí v čase jako starší verze sebe sama.

Cestování časem, pokud je možné, by mohlo vést k velmi podivným situacím. Paradox bootstrap je opakem klasického paradoxu dědečka: místo toho, aby se člověk vrátil v čase a zabránil si v cestě zpět v čase, přenese nějakou informaci nebo objekt zpět v čase, stane se „mladší“ verzí sebe sama a umožní si později cestovat zpět v čase.

Člověk se pak musí ptát: Jak tato informace nebo předmět vůbec vznikly? Paradox bootstrap je běžný ve sci-fi literatuře a jeho název pochází z povídky Roberta Heinleina.

Pokud na Zemi není nic zvláštního, pak by v naší galaxii měla být spousta mimozemských civilizací. Ve vesmíru jsme však žádné důkazy o existenci jiného inteligentního života nenašli.

A konečně, někteří považují ticho našeho vesmíru za paradox. Jedním ze základních předpokladů astronomie je, že Země je docela obyčejná planeta v docela obyčejné sluneční soustavě v docela obyčejné galaxii a že na nás není nic vesmírně výjimečného.

Družice NASA Kepler našla důkazy, že v naší galaxii se pravděpodobně nachází 11 miliard planet podobných Zemi. Vzhledem k tomu by se život do jisté míry podobný nám měl vyvinout někde nepříliš daleko od nás (alespoň v kosmickém měřítku).

Navzdory vývoji stále výkonnějších teleskopů jsme však nikde jinde ve vesmíru nenašli důkazy o existenci technologických civilizací. Civilizace jsou hlučné. Lidstvo vysílá televizní a rádiové signály, které jsou jednoznačně umělé. Civilizace jako ta naše by měla zanechat důkazy, které bychom našli.

Navíc civilizace, která se vyvinula před miliony let (z vesmírného hlediska poměrně nedávno), by měla dost času na to, aby alespoň začala kolonizovat galaxii, což znamená, že by mělo existovat ještě více důkazů o její existenci. Pokud by totiž měla dostatek času, byla by kolonizující civilizace schopna v průběhu milionů let kolonizovat celou galaxii.

Fyzik Enrico Fermi, po němž byl tento paradox pojmenován, se jednoduše zeptal: „Kde jsou?“ uprostřed polední diskuse se svými kolegy. Jedno z řešení tohoto paradoxu zpochybňuje výše uvedenou myšlenku, že na Zemi je běžný život, a místo toho tvrdí, že složitý život je ve vesmíru extrémně vzácný. Jiný předpokládá, že technologické civilizace nevyhnutelně zaniknou v důsledku jaderné války nebo ekologické devastace.

Optimističtějším řešením je myšlenka, že se před námi mimozemšťané záměrně skrývají, dokud nebudeme sociálně a technologicky vyspělejší. Další myšlenkou je, že mimozemská technologie je tak vyspělá, že bychom ji ani nebyli schopni rozpoznat.

Zdroj: Wikipedia, IFLScience, redakce